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이진 분류(Binary Classification)

이진 분류(Binary Classification)란 규칙에 따라 입력된 값을 두 그룹으로 분류하는 작업을 의미합니다.

구분하려는 결과가 참(True) 또는 거짓(False)의 형태나 A 그룹 또는 B 그룹으로 데이터를 나누는 경우를 의미합니다.

분류 결과가 맞다면 1(True, A 그룹에 포함)을 반환하며, 아니라면 0(False, A 그룹에 포함되지 않음)을 반환하는 형태가 됩니다.

즉, 결과를 이분화하는 작업을 수행합니다. 만약, 분류해야하는 그룹이 3 종류 이상이라면, 다중 분류(Multiclass Classification)를 의미합니다.

참(True) 또는 거짓(False)으로 결과를 분류하기 때문에 논리 회귀(Logistic Regression) 또는 논리 분류(Logistic Classification)라고도 부릅니다.

이진 분류(Binary Classification)를 그래프화한다면 위 그림과 같은 형태가 됩니다.

구분하려는 값을 X, 분류된 결과를 Y라고 표현한다면 3 이하의 값은 거짓(False, 0)이 되며, 4 이상의 값은 값은 참(True, 1)이 되는 형태입니다.

입력 데이터가 정수(int) 형태로 입력된다면 간단하게 구분할 수 있지만, 3.43.7 등 모호한 위치에 있다면 특정 그룹으로 나누기에 모호한 값이 됩니다.

하지만, X가 3.4일 때 Y의 값은 0.4가 되며, X가 3.7일 때 Y의 값은 0.7을 갖게되는 것을 알 수 있습니다.

즉, 관측치는 0 ~ 1 범위로 예측된 점수를 반환하며, 데이터를 0 또는 1로 분류하기 위해 임곗값을 0.5로 설정합니다.

그러므로, Y가 0.5 보다 작은 값은 거짓이 되며, 0.5 보다 큰 값은 참이 됩니다.

위와 같이 Y값이 0 ~ 1 범위를 갖게 하기 위해 활성화 함수(Activation Function) 중 하나인 시그모이드 함수(Sigmoid Function)를 적용합니다.



시그모이드 함수(Sigmoid Function)

먼저, 활성화 함수(Activation Function)란 입력 데이터를 정해진 수식에 따라 값을 변환하는 식(Equation)을 의미합니다.

활성화 함수는 비선형으로 이뤄져 있어, 활성화 함수를 적용하면 입력값에 대한 출력값이 비선형(Nonlinear)으로 변환됩니다.

시그모이드 함수(Sigmoid Function)S자형 곡선의 모양의 형태로 반환값은 0 ~ 1 또는 -1 ~ 1의 범위를 갖습니다.

시그모이드 함수의 수식은 다음과 같이 표현합니다.

\[Sigmoid(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\]

시그모이드 함수의 \(x\)의 계수에 따라 S자형 곡선이 완만한 경사를 갖게 될지, 급격한 경사를 갖게 될지 설정할 수 있습니다.

\[\begin{multline} \shoveleft Sigmoid\ \text{#1}(x) = \frac{1}{1+e^{-0.5x}}\\ \shoveleft Sigmoid\ \text{#2}(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\\ \shoveleft Sigmoid\ \text{#3}(x) = \frac{1}{1+e^{-2x}} \end{multline}\]


시그모이드 함수(Sigmoid Function)의 \(x\)의 계수가 0에 가까워질수록 완만한 경사를 갖게되며, 0에서 멀어질수록 급격한 경사를 갖게됩니다.

시그모이드 함수(Sigmoid Function)는 주로 로지스틱 회귀(Logistic Regression)에 사용됩니다.

로지스틱 회귀는 독립 변수(x)의 선형 결합을 활용하여 결과를 예측합니다.

종속 변수(Y)를 범주형 데이터를 대상으로 계산하기 때문에 해당 데이터의 결과가 특정 분류로 나뉘게 됩니다.

즉, 로지스틱 회귀는 분류(Classification)에서도 사용될 수 있습니다.

그러므로, 시그모이드 함수(Sigmoid Function)를 통해 나온 출력값이 0.5보다 낮다면 거짓(False)으로 분류하며, 0.5보다 크다면 참(True)으로 분류합니다.

시그모이드 함수는 유연한 미분 값 가지므로, 입력에 따라 값이 급격하게 변하지 않는 장점이 있습니다.

또한, 출력값의 범위가 0 ~ 1 사이로 제한됨으로써 정규화 중 기울기 폭주(Exploding Gradient) 문제를 방지하고 미분식이 단순한 형태 지닙니다.

하지만, 기울기 폭주를 방지하는 대신 기울기 소실(Vanishing Gradient) 문제 발생합니다.

신경망(Neural Network)기울기(Gradient)를 이용해 최적화된 값을 찾아 가는데, 계층(Layer)이 많아지면 점점 값이 0에 수렴되는 문제가 발생해 성능이 떨어지게 됩니다.

그 외에도 Y값의 의 중심이 0이 아니므로 입력 데이터가 항상 양수인 경우라면, 기울기(Gradient)는 모두 양수 또는 음수가 되어, 기울기가 지그재그 형태로 변동하는 문제점이 발생해 학습 효율성을 감소시킵니다.



이진 교차 엔트로피(Binary Cross Entropy)

이진 분류(Binary Classification)에서 사용되는 시그모이드 함수(Sigmoid Function)의 예측값은 0 ~ 1의 범위를 가지며, 실젯값도 0 ~ 1의 범위를 갖습니다.

앞선 예제에서는 비용 함수(Cost Function)평균 제곱 오차(Mean Squared Error, MSE) 사용하여 오차를 계산했습니다.

평균 제곱 오차(Mean Squared Error, MSE) 함수를 이진 분류(Binary Classification)에서도 사용한다면 좋은 결과를 얻기 어렵습니다.

\[\begin{multline} \shoveleft MSE = (\hat{Y_{i}} - Y_{i})^2\\ \shoveleft MSE = (0.999999999999 - 1)^2 \simeq 0\\ \shoveleft MSE = (0.000000000001 - 0)^2 \simeq 0\\ \shoveleft MSE = (0.000000000001 - 1)^2 \simeq 1 \end{multline}\]
  • Tip : 시그모이드 함수(Sigmoid Function)의 반환값은 \(0 < \hat{Y_{i}} < 1\)을 갖습니다.


위 샘플에서 확인할 수 있듯이 평균 제곱 오차(Mean Squared Error, MSE)를 적용하게 되면, 극솟값(Local Minimum)이 산발적으로 발생합니다.

이러한 경우를 방지하고자, 이진 교차 엔트로피(Binary Cross Entropy)를 오차 함수로 사용합니다.

\[\begin{multline} \shoveleft BCE \ \text{#1} = - Y_{i} \cdot log (\hat{Y_{i}}) \\ \shoveleft BCE \ \text{#2} = - (1 - Y_{i}) \cdot log (1 - \hat{Y_{i}}) \\ \\ \shoveleft BCE \ loss = BCE \ \text{#1} + BCE \ \text{#2} \\ \shoveleft BCE \ loss = - ( Y_{i} \cdot log (\hat{Y_{i}}) + (1 - Y_{i}) \cdot log (1 - \hat{Y_{i}})) \end{multline}\]


이진 교차 엔트로피(Binary Cross Entropy)는 로그 함수를 활용하여 오차 함수를 구현합니다.

두 가지의 로그 함수를 교차하여 오차를 계산합니다.

BCE #1 수식은 실젯값(\(Y_{i} = 1\))이 1일 때 적용하는 수식이며, BCE #2 수식은 실젯값(\(Y_{i} = 0\))이 0일 때 적용하는 수식입니다.

\[\begin{multline} \shoveleft BCE \ \text{#1} = - Y_{i} \cdot log (\hat{Y_{i}}) \\ \shoveleft BCE \ \text{#1} = - 1 \cdot log(0.999999999999) \simeq 0\\ \shoveleft BCE \ \text{#1} = - 1 \cdot log(0.000000000001) \simeq 12 \end{multline}\] \[\begin{multline} \shoveleft BCE \ \text{#2} = - (1 - Y_{i}) \cdot log (1 - \hat{Y_{i}}) \\ \shoveleft BCE \ \text{#2} = - (1 - 0) \cdot log(0.999999999999) = 0\\ \shoveleft BCE \ \text{#2} = - (1 - 0) \cdot log(0.000000000001) \simeq 12 \end{multline}\]


로그 함수는 로그의 진수가 0에 가까워질수록 무한대로 발산합니다.

기존의 평균 제곱 오차(Mean Squared Error, MSE) 함수는 명확하게 불일치 하는 경우에도 높은 손실(Loss) 값을 반환하지 않습니다.

하지만, 로그 함수의 경우 불일치하는 비중이 높을수록 높은 손실(Loss) 값을 반환합니다.

로그 함수의 경우 한 쪽 방향으로는 무한대로 이동하며 다른 한 쪽 방향으로는 0에 가까워지기 때문에 기울기가 0이 되는 지점을 찾기 위해 두 가지의 로그 함수를 하나로 합쳐 사용합니다.

그래프에서 확인할 수 있듯이, BCE #1BCE #2를 하나의 수식으로 합친다면, 기울기가 0이되는 지점을 찾을 수 있게 됩니다.

최종으로 반환되는 이진 교차 엔트로피(Binary Cross Entropy) 함수는 오차(Error) 계산하기 위해 각 손실(Loss) 값의 평균을 반환합니다.

\[BCE = - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ( Y_{i} \cdot log (\hat{Y_{i}}) + (1 - Y_{i}) \cdot log (1 - \hat{Y_{i}}))\]



데이터 세트

학습에 사용된 dataset.csv는 아래 링크에서 다운로드할 수 있습니다.

Dataset 다운로드 : 다운로드

dataset.csv는 다음과 같은 형태로 구성되어 있습니다.

x y z pass
86 22 1 False
81 75 91 True
54 85 78 True
5 58 4 False
53 93 100 True
73 95 70 True
23 73 88 False
74 46 28 False

x, y, zpass의 관계는 x, y, z모두 40 이상이며, 평균이 60 이상일 때 True를 반환합니다.

이 데이터를 활용하여 이진 분류(Binary Classification)모델(Model)로 구현해보도록 하겠습니다.



메인 코드

import torch
import pandas as pd
from torch import nn
from torch import optim
from torch.utils.data import Dataset, DataLoader


class CustomDataset(Dataset):
    def __init__(self, file_path):
        df = pd.read_csv(file_path)
        self.x1 = df.iloc[:, 0].values
        self.x2 = df.iloc[:, 1].values
        self.x3 = df.iloc[:, 2].values
        self.y = df.iloc[:, 3].values
        self.length = len(df)

    def __getitem__(self, index):
        x = torch.FloatTensor([self.x1[index], self.x2[index], self.x3[index]])
        y = torch.FloatTensor([self.y[index]])
        return x, y

    def __len__(self):
        return self.length


class CustomModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(CustomModel, self).__init__()
        self.layer = nn.Sequential(
          nn.Linear(3, 1),
          nn.Sigmoid()
        )

    def forward(self, x):
        x = self.layer(x)
        return x


train_dataset = CustomDataset("./dataset.csv")
train_dataloader = DataLoader(train_dataset, batch_size=128, shuffle=True, drop_last=True)

device = "cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu"
model = CustomModel().to(device)
criterion = nn.BCELoss().to(device)
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.0001)

for epoch in range(10000):
    cost = 0.0

    for x, y in train_dataloader:
        x = x.to(device)
        y = y.to(device)

        output = model(x)
        loss = criterion(output, y)

        optimizer.zero_grad()
        loss.backward()
        optimizer.step()

        cost += loss

    cost = cost / len(train_dataloader)

    if (epoch + 1) % 1000 == 0:
        print(f"Epoch : {epoch+1:4d}, Model : {list(model.parameters())}, Cost : {cost:.3f}")


with torch.no_grad():
    model.eval()
    inputs = torch.FloatTensor(
        [[89, 92, 75], [75, 64, 50], [38, 58, 63], [33, 42, 39], [23, 15, 32]]
    ).to(device)
    outputs = model(inputs)

    print("---------")
    print(outputs)
    print(outputs >= torch.FloatTensor([0.5]).to(device))
결과
Epoch : 1000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0067, 0.0040, 0.0061]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.5287], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.612
Epoch : 2000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0073, 0.0043, 0.0058]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.5963], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.608
Epoch : 3000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0074, 0.0044, 0.0062]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.6629], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.604
Epoch : 4000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0079, 0.0046, 0.0067]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.7286], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.591
Epoch : 5000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0075, 0.0057, 0.0072]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.7934], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.588
Epoch : 6000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0083, 0.0058, 0.0074]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.8573], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.582
Epoch : 7000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0083, 0.0062, 0.0077]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.9203], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.580
Epoch : 8000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0089, 0.0062, 0.0082]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-0.9825], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.571
Epoch : 9000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0087, 0.0064, 0.0078]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-1.0438], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.566
Epoch : 10000, Model : [Parameter containing:
tensor([[0.0093, 0.0068, 0.0082]], device=’cuda:0’, requires_grad=True), Parameter containing:
tensor([-1.1043], device=’cuda:0’, requires_grad=True)], Cost : 0.562
---------
tensor([[0.7232],
    [0.6073],
    [0.5394],
    [0.4518],
    [0.3713]], device=’cuda:0’)
tensor([[ True],
    [ True],
    [ True],
    [False],
    [False]], device=’cuda:0’)

세부 코드

class CustomDataset(Dataset):
    def __init__(self, file_path):
        df = pd.read_csv(file_path)
        self.x1 = df.iloc[:, 0].values
        self.x2 = df.iloc[:, 1].values
        self.x3 = df.iloc[:, 2].values
        self.y = df.iloc[:, 3].values
        self.length = len(df)

    def __getitem__(self, index):
        x = torch.FloatTensor([self.x1[index], self.x2[index], self.x3[index]])
        y = torch.FloatTensor([self.y[index]])
        return x, y

    def __len__(self):
        return self.length

데이터 세트(Dataset) 클래스를 상속받아 사용자 정의 데이터 세트(CustomDataset)를 정의합니다.

초기화 메서드(__init__)에서 CSV 파일의 경로를 입력받을 수 있게 file_path를 정의합니다.

self.x1, self.x2, self.x3x, y, z 값을 할당하며, self.ypass 값을 할당합니다.

호출 메서드(__getitem__)에서 x입력값(x1, x2, x3)를 할당하고, y실젯값(y)를 반환합니다.


class CustomModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(CustomModel, self).__init__()
        self.layer = nn.Sequential(
          nn.Linear(3, 1),
          nn.Sigmoid()
        )

    def forward(self, x):
        x = self.layer(x)
        return x

모듈(Module) 클래스를 상속받아 사용자 정의 모델(CustomModel)를 정의합니다.

super() 함수를 통해 Module 클래스의 속성을 초기화하고, 사용할 계층(Layer)을 정의합니다.

시퀀셜(Sequential)을 활용하여 여러 계층(Layer)을 하나로 묶습니다.

묶어진 계층은 순차적으로 실행되며, 가독성(Readability)을 높일 수 있습니다.

선형 변환 함수(nn.Linear)입력 데이터 차원 크기(in_features)3을 입력하고, 출력 데이터 차원 크기(out_features)1을 입력합니다.

또한, 시그모이드 함수(Sigmoid Function)을 적용할 예정이므로, 시그모이드 함수(nn.Sigmoid)선형 변환 함수(nn.Linear) 뒤에 연결합니다.


criterion = nn.BCELoss().to(device)

이진 교차 엔트로피 클래스(nn.BCELoss)criterion 인스턴스를 생성합니다.

이진 교차 엔트로피 클래스(nn.BCELoss)비용 함수(Cost Function)로 criterion 인스턴스에서 순전파(Forward)를 통해 나온 출력값과 실젯값을 비교하여 오차를 계산합니다.


with torch.no_grad():
    model.eval()
    inputs = torch.FloatTensor(
        [[89, 92, 75], [75, 64, 50], [38, 58, 63], [33, 42, 39], [23, 15, 32]]
    ).to(device)
    outputs = model(inputs)

    print("---------")
    print(outputs)
    print(outputs >= torch.FloatTensor([0.5]).to(device))

참(True) 또는 거짓(False)으로 반환될 수 있도록 예측값이 0.5 이상의 값을 지닌다면, 참(True) 값으로 반환합니다.

예측값은 0 ~ 1 범위를 가지므로, 1에 가까울 수록 참(True)일 확률이 높아집니다.


출력 결과

tensor([[0.7232],
        [0.6073],
        [0.5394],
        [0.4518],
        [0.3713]], device='cuda:0')
tensor([[ True],
        [ True],
        [ True],
        [False],
        [False]], device='cuda:0')
입력값 평균 최솟값 실젯값 예측값(1) 예측값(2)
[89, 92, 75] 85.33 75 True 0.7232 True
[75, 64, 50] 63.00 50 True 0.6073 True
[38, 58, 63] 53.00 38 False 0.5394 True
[33, 42, 39] 38.00 33 False 0.4518 False
[23, 15, 32] 23.33 15 False 0.3713 False

검증을 위해 무작위로 설정한 값은 표와 같습니다.

첫 번째 데이터는 명확하게 참(True)으로 판단할 수 있는 데이터 구조를 갖기 때문에 예측값이 0.7232로 높게 계산되었습니다.

반대로, 마지막 데이터는 거짓(False)으로 판단하기 쉬운 데이터 구조를 갖기 때문에 예측값이 0.3713으로 낮게 계산되었습니다.

판단을 하기 어려운 중간 데이터는 참으로 판단되었지만, 0.5에 근사한 예측값을 갖는 0.5394로 계산되었습니다.

결과를 이분화하기 때문에, 참 또는 거짓으로 나눌 수 있지만, 0.5에 가까워질수록 결과가 정확하지 않습니다.

예측값(1)을 활용하여 정확성을 판단하여 결과를 예측하는 것이 좋습니다.

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