Python Numpy 강좌 : 제 16강 - 다항식 계산 (1)

다항식 생성(Poly1d)

import numpy as np

equation1 = np.poly1d([1, 2], True, variable = 'a')
equation2 = np.poly1d([1, 2], True)
equation3 = np.poly1d([1, 2], False)

print(equation1)
print(equation2)
print(equation3)

결과

     2
1 a - 3 a + 2
     2
1 x - 3 x + 2

1 x + 2

다항식 생성 함수(np.poly1d)는 입력 배열을 계수 또는 근으로 간주하여 다항식을 생성합니다.

np.poly1d(입력 배열, 근 설정, 변수명)으로 다항식을 생성합니다.

입력 배열을 다항식의 계수나 근으로 사용합니다.

근 설정이 True라면 근으로 사용하며, False라면 계수로 사용합니다.

근 설정 값을 입력하지 않는다면 False로 간주합니다.

변수명은 다항식의 변수의 이름을 설정합니다.

변수명 값을 입력하지 않는다면 x로 간주합니다.

equation1은 입력 배열을 근으로 사용하며, 변수명을 a로 사용합니다.

그러므로, \(equation1 = (a - 1)(a - 2) = a^2 - 3a + 2\)가 됩니다.

equation2은 입력 배열을 근으로 사용합니다.

그러므로, \(equation2 = (x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2\)가 됩니다.

equation3은 입력 배열을 계수으로 사용합니다.

그러므로, \(equation3 = x + 2\)가 됩니다.

입력 배열의 값의 순서가 방정식의 계수나 근이 됩니다.

계수로 사용하는 경우, 최고차항의 계수부터 내림차순으로 입력합니다.

만약, \(2x^3 - 1\) 수식을 입력한다면, 빠진 차수의 계수인 0도 함께 입력해 np.poly1d([2, 0, 0, -1])으로 사용합니다.

• Tip : np.poly1d를 비롯한 np.poly* 함수들은 레거시(Legacy) API입니다. 공식 문서에서는 새로운 코드에 numpy.polynomial 패키지의 Polynomial 클래스를 권장하며, 이 클래스는 계수를 최저차항부터 오름차순으로 입력합니다. 자세한 내용은 제 17강에서 다룹니다.

다항식 속성(Poly1d Attributes)

import numpy as np

equation = np.poly1d([1, 2], True)
print(equation.c, equation.coef, equation.coefficients)
print(equation.o, equation.order)
print(equation.r, equation.roots)
print(equation.variable)

결과

[ 1. -3. 2.] [ 1. -3. 2.] [ 1. -3. 2.]
2 2
[2. 1.] [2. 1.]
x

다항식은 크게 네 가지 종류의 속성을 갖고 있습니다.

c, coef, coefficients는 다항식의 계수를 반환합니다.

즉, [1, -3, 2]은 \(x^2 - 3x + 2\)이 되며, 앞선 예시의 equation2의 반환값과 같은 것을 확인할 수 있습니다.

o, order는 다항식의 최고 차수를 반환합니다.

그러므로, 다항식의 최대 차수인 2를 반환합니다.

r, roots는 다항식의 근을 반환합니다.

다항식에서 0이 되는 값인 [2, 1]을 반환합니다.

variable은 다항식의 변수명을 반환합니다.

변수명을 별도로 입력하지 않았으므로, 기본값인 x를 반환합니다.

다항식 근 계산(Roots)

import numpy as np

p = np.poly1d([1, 10])
equation1 = np.roots(p)
equation2 = np.roots([1, 10])

print(equation1)
print(equation2)

결과

[-10.]
[-10.]

다항식 근 계산 함수(np.roots)는 입력 배열을 다항식으로 간주하여 근을 계산합니다.

np.roots(입력 배열)로 다항식의 근을 계산합니다.

입력 배열은 다항식(poly1d) 값을 입력하거나 계수를 내림차순으로 직접 입력할 수 있습니다.

입력 배열은 \(x + 10\)이므로, 근은 -10이 됩니다.

np.roots는 다항식의 동반 행렬(Companion Matrix)의 고윳값을 계산하는 방식으로 근을 구하므로, 결과는 항상 float 또는 complex 자료형의 배열이 됩니다.

다항식 계수 계산(Poly)

import numpy as np

p = np.poly1d([1, -6, 8])
equation1 = np.poly(p.r)
equation2 = np.poly([1, -6, 8])

print(equation1)
print(equation2)

결과

[ 1. -6. 8.]
[ 1. -3. -46. 48.]

다항식 계수 계산 함수(np.poly)는 입력 배열을 다항식의 근으로 간주하여 계수를 계산합니다. np.roots의 역연산입니다.

np.poly(입력 배열)로 다항식의 계수를 계산합니다.

입력 배열에는 근의 목록을 입력합니다. 반환값은 poly1d가 아닌 계수 배열(ndarray)입니다.

equation1은 \(x^2 - 6x + 8\)의 근인 p.r([4, 2])을 입력했으므로, 원래의 계수인 [1, -6, 8]이 반환됩니다.

equation2의 입력 배열은 근 1, -6, 8이므로 \((x - 1)(x + 6)(x - 8)\)이 되고, 이를 전개하면 \(x^3 - 3x^2 - 46x + 48\)이 됩니다.

그러므로, 반환값은 [1, -3, -46, 48]이 됩니다.

• Tip : np.poly에 poly1d 객체를 그대로 입력하면 그 계수 배열이 근으로 해석됩니다. np.poly(p)는 np.poly([1, -6, 8])과 같은 결과가 되므로 주의해야 합니다.

다항식 계산(Polyval)

import numpy as np

p = np.poly1d([1, -6, 8])
x = 5
equation1 = np.polyval(p, x)
equation2 = np.polyval([1, -6, 8], np.poly1d([x, x]))

print(equation1)
print(equation2)

결과

3
       2
25 x + 20 x + 3

다항식 계산 함수(np.polyval)는 입력 배열을 다항식으로 간주하고, 입력값을 넣어 계산된 값을 반환합니다.

np.polyval(입력 배열, 입력값)로 다항식의 계산 결과를 반환합니다.

입력 배열은 다항식(poly1d) 값을 입력하거나 계수를 내림차순으로 직접 입력할 수 있습니다.

입력값은 숫자, 배열, poly1d값을 입력합니다. 배열을 입력하면 각 요소에 대한 계산값을 배열로 반환합니다.

equation1의 입력 배열은 \(x^2 - 6x + 8\)이며, \(x\)에 \(5\)를 입력하므로, 반환값은 \(3\)이 됩니다.

equation2의 입력 배열은 \(x^2 - 6x + 8\)이며, \(x\)에 \(5x + 5\)를 입력하므로, 반환값은 \(25x^2 + 20x + 3\)이 됩니다.

다항식 객체 호출과 연산

import numpy as np

p = np.poly1d([1, -6, 8])

print(p(5))
print(p([0, 1, 2]))
print(p * p)
print(p ** 2 == p * p)

결과

3
[8 3 0]
   4      3      2
1 x - 12 x + 52 x - 96 x + 64
True

poly1d 객체는 함수처럼 호출할 수 있습니다. p(5)는 np.polyval(p, 5)와 같은 결과를 반환합니다.

배열을 입력하면 각 요소에 대한 계산값을 배열로 반환합니다.

또한, poly1d 객체끼리는 +, -, *, ** 등의 산술 연산자를 사용해 다항식 연산을 수행할 수 있습니다.

\((x^2 - 6x + 8)^2 = x^4 - 12x^3 + 52x^2 - 96x + 64\)이므로, p * p와 p ** 2는 같은 다항식이 됩니다.

복소수 근과 중근

import numpy as np

print(np.roots([1, 0, 1]))
print(np.roots([1, -2, 1]))

결과

[-0.+1.j 0.-1.j]
[1. 1.]

\(x^2 + 1\)은 실수 범위에서 근이 없으므로, np.roots는 복소수 근인 \(\pm i\)를 complex 자료형으로 반환합니다. Python에서는 허수 단위를 j로 표기합니다.

\(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\)은 1을 중근으로 가지므로, 같은 값이 차수만큼 반복되어 반환됩니다.

• Tip : np.roots는 수치 계산으로 근을 구하므로, 중근이나 계수가 큰 다항식에서는 0.9999999 처럼 미세한 오차가 발생할 수 있습니다. 근을 비교할 때는 == 대신 np.isclose를 사용합니다.